eとその有理数乗(0乗を除く)が無理数であることの証明

ネイピア数(自然対数の底) e と円周率 \pi はともに、無理数でありさらに超越数であることが知られている。

  • 無理数: 有理数(分母・分子がともに整数である分数で表せる数)でない実数
  • 超越数: 有理数係数の代数方程式
    a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0
    の解とならない複素数(「有理数係数」は「整数係数」としても同じ)

たとえば \sqrt{2} は無理数だが、x^2 - 2 = 0 の解なので代数的数であり、超越数ではない。虚数単位 i は実数ではないが x^2 + 1 = 0 の解なので代数的数である。
任意の有理数 px - p = 0 の解なので代数的数である。したがって超越数である実数は必ず無理数である。

最近、e\pi が無理数・超越数であることの証明をたまたま見かけて調べてみたので、ここに概要をメモしていく。超越数であることが証明できれば無理数であることも証明したことになるのだが、やはり超越数の方が証明は難しいので、両方載せる。まずは e が無理数であることから。

eが無理数であることの証明
1744年にオイラーが証明している。これは比較的簡単。Wikipediaにも載っている。

背理法で証明する。e が有理数であると仮定し、\displaystyle e = \frac{a}{b} (a, b は自然数)とおく。

e^x のマクローリン展開

\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

x = 1 を代入して、

\displaystyle e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots

左辺に \displaystyle e = \frac{a}{b} を代入し、右辺を分母が b 以下の項と (b+1) 以上の項に分けると、

\displaystyle \frac{a}{b} = \Bigl( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{b!} \Bigr) + \Bigl( \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} + \frac{1}{(b+3)!} + \cdots \Bigr)

両辺に b! を掛けて

\displaystyle a(b-1)! = \Bigl( 1 + \frac{b!}{1!} + \frac{b!}{2!} + \cdots + \frac{b!}{b!} \Bigr) + \Bigl( \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \frac{b!}{(b+3)!} + \cdots \Bigr)

この左辺は自然数。右辺の1つ目の () の中は、各分数がすべて自然数なので自然数。2つ目の () の中について、

\displaystyle 0 < \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \frac{b!}{(b+3)!} + \cdots = \frac{1}{(b+1)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots < \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 1

から1未満である。したがって右辺は自然数とならず矛盾する。
よって e が有理数であるという仮定が誤りであり、e は無理数であることが証明された。

eの有理数乗(0乗を除く)が無理数であることの証明

e 自身のみならず e の有理数乗(0乗を除く)がすべて無理数になるということは、シャルル・エルミートが証明している。以下の動画で紹介されている。

この証明は概要だけ書いておく。

r, s を整数(rs \neq 0)とするとき、e^\frac{s}{r} が無理数であることを示す。
このとき、s < 0 なら s \to -sr \to -r と置き直しても \frac{s}{r} の値は変わらないので、s > 0 としてよい。

有理数の整数乗は有理数であることから、e^\frac{s}{r} が有理数なら e^s は有理数。対偶をとると、e^s が無理数なら e^\frac{s}{r} は無理数である。したがって e^s が無理数であることを示せばよい。
背理法を使う。e^s は有理数であると仮定し、e^s = \frac{b}{a} (a, b は整数、ab \neq 0)とする。

自然数 n に対して以下の関数を定義する。

\displaystyle f_n(x) = \frac{x^n (1 - x)^n}{n!}
\displaystyle F_n(x) = \frac{1}{s}f_n(x) - \frac{1}{s^2}f_n^{(1)}(x) + \frac{1}{s^3}f_n^{(2)}(x) - \cdots + \frac{1}{s^{2n+1}}f_n^{(2n)}(x)

これらに対して

\displaystyle \int_0^1 e^{sx}f_n(x)dx = e^s F_n(1) - F_n(0)

が成り立つ。右辺に e^s = \frac{b}{a} を代入して両辺に as^{2n+1} を掛けると

\displaystyle as^{2n+1}\int_0^1 e^{sx}f_n(x)dx = bs^{2n+1}F_n(1) -as^{2n+1}F_n(0)

となる。

  • この式の右辺の値はnにかかわらず整数であることが言える。
  • 左辺については0より大きく、かつ n \to \infty のとき0に収束することが言える。したがって十分大きな n に対して左辺は0より大きく1より小さい。

これらは矛盾する。
したがって、e^s が有理数であるという仮定が誤りであり、e^s が無理数であること、さらに e^\frac{s}{r} が無理数であることが示される。

この証明は e が無理数であることを使っていないので、e が無理数であることの証明も兼ねている。

要は、e^s が有理数であると仮定して、何でもいいから矛盾を導こうという戦略なのだが、こんな証明、よく思いついたものだと思う。e は微分・積分で重要な役割を果たす数なので、微分・積分を道具に使って矛盾を導きやすいということはあるのだと思う。これが \pi だともっと難しくなる。

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