連続性と微分可能性 (1)

実関数 f(x)x = a で連続であるとは、極限 \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) が存在して f(a) に等しくなることをいう。もっとちゃんと言うと、任意の \varepsilon > 0 に対して \delta > 0 が存在して、|x - a| < \delta ならば | f(x) - f(a) | < \varepsilon となることである。

関数 f(x)x = a で微分可能であるとは、微分係数 \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} が(有限の値として)存在することをいう。 続きを読む

負の数と負の数を掛けるとなぜ正の数になるのか

あるセミナー(数学とは関係ない)で講師の人が何かの例を説明する時に「マイナスとマイナスを掛けるとプラスになりますからね」と言ったら、参加者の一人から「なつかしい!」という声が上がったことがあった。「そうか、なつかしいのか…」と妙に感心してしまった。

「マイナスとマイナスを掛けるとなぜプラスになるの?」は、「数学でわからないこと」の定番として挙げられる。-2 \times (-3) はなぜ -6 ではなくて 6 なのかということである。 続きを読む

素数が無限に存在することの証明 (6) 〜 素数の逆数和 その1 〜

6つ目の証明は、ポール・エルデシュによるもの。生涯に約1500本もの論文を発表したことや、それらの多くが共著だったことで知られる人。この証明では、素数の逆数の和が無限大に発散することを示す。素数が有限個しか存在しないなら逆数の和は有限の値になるはずであるから、逆数の和が発散することを示せれば素数が無限に存在することが言える。 続きを読む