素数が無限に存在することの証明 (1)

素数とは、1より大きい自然数で、1と自分自身以外に約数を持たないもののこと。具体的には、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \ldotsが素数である。
素数が無限に多く存在することはよく知られていて、たくさんの証明がなされている。それらのいくつかについて書いていきたい。
まずは最もよく引用される、ユークリッドの証明から。

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πが無理数であることの証明

ネイピア数(自然対数の底) e に続いて、今度は円周率 \pi が無理数であることの証明。Wikipediaによると、初めて厳密に証明したのはルジャンドルで、1794年のことだった。初等的な微分積分のみを用いた証明はイヴァン・ニーベンが1947年に与えている。e よりずっと難しい。 続きを読む

eとその有理数乗(0乗を除く)が無理数であることの証明

ネイピア数(自然対数の底) e と円周率 \pi はともに、無理数でありさらに超越数であることが知られている。

  • 無理数: 有理数(分母・分子がともに整数である分数で表せる数)でない実数
  • 超越数: 有理数係数の代数方程式
    a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0
    の解とならない複素数(「有理数係数」は「整数係数」としても同じ)

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